Презентация основные свойства комплексных чисел. Презентация на тему комплексные числа

Комплексные числа Комплексные числа и операции над ними.

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции. Натуральные числа, N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в N Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение. Деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Z Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из неотрицательных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Q Действительные числа, R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел. Извлечение корней из произвольных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в R Комплексные числа, C Все операции

УСЛОВИЯ, которые должны удовлетворять комплексные числа … 1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 2.Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3.Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

Вид комплексного числа В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: ai+bi =(a+b) i ; ai -bi=(a-b) i ; a(bi)=(ab) i ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a и b – действительные числа) i²= -1, i - мнимая единица

Определения Определение №1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – мнимая единица. В записи z = a+bi число a называют действительной частью комплексного число z , а число b – мнимой частью комплексного числа z . Определение №2 Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Определение № 3 Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Z=X+YI X - YI

Формулы Сумма комплексных чисел: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Разность комплексных чисел: z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Произведение комплексных чисел: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd)+(bc+ad) Формула для частного двух комплексных чисел: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Свойства Свойство 1 Если z = x + yi , то z*z = x ² + y ² z 1 Следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Свойство 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Свойство 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 т.е число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. С другой стороны, Z 1= a-bi, c- di , значит, Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Свойство 5 Свойство 6

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Сложение и умножение комплексных чисел. Алгебраическая форма Геометрическая форма Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I

Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Спасибо за внимание! Презентацию выполнила: ученица 10 «а» класс МОАУ «Гимназии №7» г.Оренбурга Елимова Мария.

1,85  -2  0,8 Мир чисел бесконечен.  Первые представления о числе возникли из счета предметов (1, 2, 3 и т. д.) – НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.  В последствии возникли ДРОБИ как результат измерения длины, веса и т. д. (, и т. д.)  ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, появились с развитием алгебры Целые числа (т. е. натуральные 1, 2, 3,и т. д.), отрицательные числа (-1,-2, -3 и т. д. и нуль), дроби называются РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. ,  Рациональными числами нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если длина стороны ровна единице измерения. Чтобы точно выразить отношения несоизмеримых отрезков надо ввести новое число:  ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (и т. д.) Рациональные и иррациональные – образуют множество: Действительных чисел. При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что в множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен. При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами так же отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Что бы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа – Комплексные числа Комплексные числа 2=-1 3=- = 4 =1 b - Мнимые числа a + b – Комплексные числа a, b – Любые действительные числа Прошлое и настоящее комплексных чисел. Комплексные числа возникли в математике более 400 лет назад. Впервые столкнулись с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что такое, какой смысл следует предавать этому выражению, никто не знал. Квадратный корень из любого отрицательного числа не имеет смысла во множестве действительных чисел. С этим сталкиваются при решении квадратных, кубических уравнений, уравнений четвертой степени. МАТЕМАТИКИ СЧИТАЛИ: ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР Квадратные корни из отрицательных чисел – ввиду, что они не больше, не меньше и не равны нулю – не могут быть причислены к возможным числам. Готфрид Вильим Лейбнец Готфрид Лейбнец называл комплексные числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», выродком мира идей, почти двойственным существом, находящимся между быть и не быть». Он даже завещал начертить на своей могиле знак как символ потустороннего мира. К. Гаусс в начале ХĮХ века предложил назвать их «комплексными числами». К. Ф. гаусс Формы комплексных чисел: Z=a+bi – алгебраическая форма Z=r() – тригонометрическая Z=rE - показательная Комплексные числа применяются:  При составлении географических карт  В теории самолетостроения  Использованы в разнообразных исследованиях по теории чисел  В электромеханике  При изучении движения естественных и искусственных небесных тел и т. д. И в заключение презентации предлагая Разгадать кроссворд «Проверь себя» 8 1 3 2 7 5 6 4 1.Как называется число вида Z=a+bc? 2.В какой степени мнимой единицы получается один? 3.Как называются числа отличающиеся лишь знаком при мнимой части?4. Длина вектора. 5.Угол под которым находится вектор. 6. Какая форма комплексного числа: Z=r(cos +sin)? 7. Какая форма комплексного числа Z=re? 8. Вид Д=b -4ac, что такое Д?

1.История развития числа.

Докладчик: А вы знаете, что нас с вами в древние времена скорей всего считали колдунами? В древние времена человек, который умел считать, казался колдуном. Не все грамотные люди владели подобным «колдовством». Считать умели, в основном, писцы, а еще, конечно, купцы.

Появляются купцы.
Купцы. Сложение, самое простое арифметическое действие, освоить при определенном воображении можно. Надо было только представить одинаковые палочки, камешки, ракушки.

Докладчик: Приблизительно так и нас обучали счету в первом классе. В пятом классе УЗНАЛИ название этих чисел. Как они называются и обозначаются? (Натуральные « N » - natural , Слайд №1) Какие операции допустимы на множестве натуральных чисел? (сложение, умножение)
А вот с вычитанием уже начинались проблемы. Не всегда получалось вычесть из одного числа другое. Иногда отнимаешь, отнимаешь, глядь – ничего уже не осталось. Нечего больше отнимать! Так что вычитание считалось действием мудреным и не всегда его произвести удавалось.
Но тут пришли на помощь купцы.

«Две черные палочки – это, предположим, две овцы, которые ты должен отдать, но пока еще не отдал. Это долг!»

Докладчик: В общем, человечеству же на толкование отрицательных чисел, а вместе с этим на определение понятия целых чисел Z -« zero » понадобилось тысячу с лишним лет. Зато стали допустимы операции…( сложение, вычитание и умножение ).

Вообще, проблемы, подобные вышеописанным с отрицательными числами, возникали со всеми «обратными» арифметическими действиями. Два целых числа можно было перемножить, и в результате получалось целое число. А вот результат от деления двух целых чисел целым числом оказывался не всегда. Это тоже приводило к недоумениям.

Купцы: сцена деления шоколада. Вот смотри, мы сладость какую заработали. Давай делить!!!

А как? она одна, а нас двое, а еще и гости… Придумал-дроби ее на части…

Докладчик: То есть, для того, чтобы результат деления существовал всегда, пришлось ввести, освоить и понять, так сказать, «физический смысл» дробных чисел. Так вошли в дело рациональные числа - Q -«quotient » - «отношение».

В системе рациональных чисел стали допустимы многие операции. Но, что не всегда получалось? (извлечение корней из неотрицательных чисел была допустима частично. Например «корень из 81» и «корень из 2».)

Эта необходимость привела к введению множества действительных чисел (R – real ), для которого и извлечение корней из неотрицательных чисел было допустимой алгебраической операцией. И все же оставался один недостаток – это…? (извлечение корня из отрицательных чисел.)

2. Новый материал.

В 18-м веке математики придумали специальные числа для того, чтобы получалось еще одно «обратное» действие, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Это – так называемые «комплексные» числа (C -complex ). Представить их сложно, но привыкнуть к ним – возможно. Считается, что на множестве комплексных чисел допустимы все алгебраические операции. И польза от применения комплексных чисел большая. Существование этих «странных» чисел значительно облегчило расчет сложных электротехнических цепей переменного тока, а также позволило рассчитать профиль авиационного крыла. Познакомимся с ними поближе.

Перечислим минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

• С1: Существует комплексное число, квадрат которого равен -1

С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i – imaginary – мнимый, воображаемый.. Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом:

i 2 =-1, i-мнимая единица

Определение 1:

Числа вида bi, где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми.

Например 2i, -3i, 0,5i

Определение 2:

Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Комплексное число записывают как z = a + bi .

Число a называется действительной частью числа z ,

число bi – мнимой частью числа z .

Их обозначают соответственно: a = Re z , b = Im z .

Арифметические действия:

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi) × (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

3. Практика.

Учебник Мордкович А.Г. Профильный уровень. 11 класс. Рассмотрим простейшие примеры работы на множестве комплексных чисел.

Рассмотреть пример № 1,2 – два способа. (стр.245).

Работа с учебником. №32.7, 32,10, 32,12

4.Тест (Приложение)

Д/З №32.5, 32,8, 32,11 а,б

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Комплексные числа

После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Какие числовые множества Вам знакомы? N Z Q R I . Подготовка к изучению нового материала

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С 1) Существует квадратный корень из, т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен. С 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Мнимые числа i = - 1, i – мнимая единица i , 2 i , -0,3 i - чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. где a и b - действительные числа. В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

Комплексные числа Определение 1 . Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Классификация комплексных чисел Комплексные числа a + bi Действительные числа b = o Мнимые числа b ≠ o Рациональные числа Иррациональные числа Мнимые числа с ненулевой действительной частью a ≠ 0, b ≠ 0. Чисто мнимые числа a = 0, b ≠ 0.

Арифметические операции над комплексными числами (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d) i (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d) i (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Сопряженные комплексные числа Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z , то сопряженное число обозначается: : . Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Свойства сопряженных чисел Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Свойства сопряженных чисел Число, сопряженное п -ой степени комплексного числа z , равно п- ой степени числа, сопряженного к числу z , т.е. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

Степени мнимой единицы По определению первой степенью числа i является само число i , а второй степенью – число -1: . Более высокие степени числа i находятся следующим образом: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 = i 4 ∙ i = i ; i 6 = i 5 ∙ i = i 2 = - 1 и т.д. i 1 = i , i 2 = -1 Очевидно, что при любом натуральном n i 4n = 1; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i .

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме. Определение. Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z , если его квадрат равен z: Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z . Если b ≠0 , то э ти два числа выражаются формулой:

Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число, равное расстоянию от точки М до начала координат b a М (a, b) y x O φ

Тригонометрическая форма комплексного числа где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Теорема 1 . Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z - любое отличное от нуля комплексное число, п - любое целое число. Тогда

Извлечение корня из комплексного числа. Теорема. Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n -степени. Если

1. Развитие понятия о числе Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

3. Утверждение комплексных чисел в математике Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами

Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – длина вектора (a+bi), q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" class="link_thumb"> 25 Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа."> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт">