Уравнение касательной к графику функции. Функциональные уравнения

2.2 Методика решения уравнений и неравенств

Уравнения и неравенства традиционная тема школьного курса математики, занимающая большое место, начиная с младших классов, где простейшие уравнения и неравенства до введения теории на основе свойств арифметических действий, и кончая старшими классами, где решаются трансцендентные уравнения.

Уравнения и неравенства представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разного рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математические модели.

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Одну из наиболее часто встречающихся идей хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

1. Решить неравенство: .

Решение. Есть два стандартных пути решения: возведение в квадрат (при условии
; если же
, неравенство выполняется) и замена неизвестного
.

Рассмотрим еще один способ – нестандартный. Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в первой части убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение
x 0 – решение этого уравнения, то при
будет, а решением данного неравенства будет
. Значение x 0 легко подбирается: x 0 = 1.

Ответ .
.

2. Решить уравнение:
.

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение x = 1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим
. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ . x = 1.

Итак, основная идея, на которой основывались решения этих двух примеров, весьма проста: если f (x ) монотонно возрастает, а φ (x) монотонно убывает, то уравнение f (x ) = φ (x ) имеет не более одного решения, причем если x = x 0 – решение этого уравнения, то при x > x 0 (x входит в область определения обеих функций f (x ) и φ (x ) ) будет f (x ) > φ (x ) , а при x x 0 будет

f (x ) φ (x ) .

Стоит обратить внимание на одну модификацию этой идеи, а именно: если f (x ) – монотонная функция, то из равенства f (x ) = f (y ) следует, что x = y .

3. Решить уравнение: .

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Рассмотрим функцию
.

Докажем, что при t > 1 эта функция монотонно убывает. Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную

и доказать, что при t > 1
. Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: , значит,
. Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ . x = 4 .

Уравнения вида f ( f ( x )) = x . При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f (x ) = x (А)

f (f (x )) = x (Б)

эквивалентны .

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x 0 ) = x 0 , то f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0 .). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x 0 такое, что f (f (x 0 )) = x 0 .Предположим, что f (x 0 ) ≠ x 0 и для определенности f (x 0 ) > x 0 . Тогда f (f (x 0 )) > f (x 0 ) > x 0 , что противоречит предположению ( f (f (x 0 )) = x 0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x ) монотонно возрастает, то при любом k уравнения
и f (x ) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы .

1. Решить уравнение:
.

Решени е. Перепишем уравнение
. Рассмотрим функцию
. Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x )) = x . В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x ) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение:
.

Данное уравнение имеет вид: f (f (x )) = x , где
.

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение:
,

Ответ.
.

3. Решить систему уравнений :
.

Решение. Рассмотрим функцию. Поскольку

При всех t , то f (t ) возрастает.

Система имеет вид y = f (x ), z = f (y ), x = f (z ), т.е. x = f (f (f (x ))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x ) = x или

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:
.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0.

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x ) = φ (x ) , для которых
при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x ) = φ (x ) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение: .

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем):
.

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что.

Пусть для определенности x 5 > x 4 , тогда из первых двух уравнений получим , откуда
и тем более
. Далее из третьего и четвертого получаем
и тем более
. Из последней пары находим
. Получилось противоречие ( и
, т.е.
, а предположили, что ).

Значит,
, отсюда
и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0);
.

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение
имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение. методике преподавания математики в средней школе : Учеб. пособие для студентов...

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

F(x,y,y")=0

1. Из уравнения F(x,y,y")=0 выразить y" через x и y . Получится одно или несколько уравнений вида y"=f(x,y), каждое из которых надо решить.

Пример.

у" 2 -y 2 =0

y"=y и y"=-y

dy/y=dx и dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD

y=Ce x и y=De -x

2. Метод параметра (простейший вариант метода).

Пусть уравнение F(x,y,y")=0 y .

y=f(x,y") .

Введем параметр p=y"=dy/dx

Тогда y=f(x,p)

Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx , получим

pdx=f x "dx+f y "dy

Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p) , то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример

y=ln(1+y" 2)

p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)

При делении на р потеряли решение у=0

3. Если уравнение F(x,y,y")=0 можно разрешить относительно х :

x=f(y,y") , то также как в 2 вводим параметр p=y"=dy/dx

4. Уравнение Лагранжа

y=xφy"+Ψ(y")

и уравнение Клеро

y=xy"+Ψ(y")

являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.

5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y")=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х) , но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y"), δF/δy и δF/δy" непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y")=0 удовлетворяет и уравнению δ F(x,y,y")/δy"=0 .

Чтобы отыскать особые решения, надо из системы

исключить y ". Полученное уравнение называется дискриминантной кривой . Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).

Пример .

y=xy"-y 2 - Уравнение Клеро

p=y"=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c , следовательно

x=2p, y=xp-p 2

y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)

y=x 2 /4 -особое решение

y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.

Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4 , например (x o ,x 2 o /4 ). найдем С , при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o /4=Cx o -C 2 , следовательно C=x o /2, т.е. y=(x o /2)x-(x 2 o /4) .

Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Решить уравнение x³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x, получим последовательно: x³ – x –6x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … ; g(x) = u n, где u 1, u 2, …, u n – корни уравнения p(u) = 0.

Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + (x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

Подбор корней Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: Пусть – уравнение с целыми коэффициентами. где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена a n, а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0. Если число и дробь

Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

Решить уравнение x³ – 5x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7). Ответ:

Решить уравнение 2x³ – 5x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2x = t, получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5): 2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные корни: Ответ:

Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

1. Указание. Запишите уравнение в виде 4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x², Разделите обе его части на x². Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и – 6y и запишите его в виде (y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8). Ответ:

14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: – Указание. Разделите обе части уравнения на x² и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

Библиография. Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2000). Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М.: Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.: Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», 2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», 3, 2005).

1. Преобразовать заданное уравнение к виду F(x) = 0.

2. Построить таблицу значений функции на заданном отрезке.

3. Построить график функции F(x).

4. Локализовать корни, т. е. найти интервалы, на которых корни уравнения существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположные знаки.

5. Определить по графику первый из корней уравнения и первый отрезок локализации этого корня.

6. Методом половинного деления найти корень уравнения с точностью e=0,001.

7. Повторить пункты 5 и 6 для следующих корней уравнения.

Вариант уравнения выбирается по номеру студента в списке.

Варианты уравнений

1. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения

2. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения

на отрезке .

3. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения

при .

4. Решить нелинейное уравнение

на отрезке .

5. Решить нелинейное уравнение

и найти его корни на отрезке .

6. Найти корни нелинейного алгебраического уравнения

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.